【気象学勉強】第41回渦度①～相対渦度～

４月になりました。今月は風について残っている箇所と，大規模な大気の循環について勉強していく予定です。

まずは風について残っているところから。今回から渦度について３回に分けて説明していく予定です。

渦度とは
渦度の計算
渦度のあるベクトル場
【まとめ】学習の要点
参考図書・参考URL

渦度とは

今回は渦度。

例えば500hPa高層天気図を見てみると下のような数値が表現されています。

VORTと記載されており，これが渦度（Vorticity）ですかね。単位は発散と同じで $\rm{1/s}$ （もしくは $\rm{s}^{-1}$ ）です。

数値を見てみると，「-33」だったり「-51」だったり「+176」だったりといろいろな値がありますね。この数値は何を表しているのでしょう。

結論から言ってしまうと，この渦度とは「ある局所領域における回転の度合い」を表すものです。ではどのように計算しているのでしょうか。

渦度の計算

ここからは少し難しい話になるのですが，大学で学ぶベクトル解析という分野に「回転（rotation）」というものがあります。前回まで見てきた「発散」と同じ単元になります。今回の渦度はこの回転という計算式で表現します。

まず，とあるベクトル場 $\vec{V}$ を $x$ 軸方向・ $y$ 軸方向・ $z$ 軸方向に分けて以下のように書くことにします。

　　 $\vec{V} = \begin{pmatrix} V_x \\ V_y \\ V_z \end{pmatrix}$

下の図のようなベクトル場を一般化して一つの式でまとめているというイメージです。

ここで空間の微小な領域における回転の強さ（すなわち渦度）は以下の式で表すことができます。

　　 $(渦度) = rot{\vec{V}} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial V_z}{\partial y} - \dfrac{\partial V_y}{\partial z} \\ \dfrac{\partial V_x}{\partial z} - \dfrac{\partial V_z}{\partial x} \\ \dfrac{\partial V_y}{\partial x} - \dfrac{\partial V_x}{\partial y} \end{pmatrix}$ 　　・・・①

さすがにこの式見ると頭痛くなりますね。なぜこんな式が導き出されるのか詳しく知りたい方はヨビノリさんの動画をご参考にしてください。私もちゃんと説明できません。

www.youtube.com

しかし気象学では静力学平衡が成り立ち，鉛直方向の速度は水平方向の速度と比較して無視できるほど小さくなるので，鉛直方向（すなわち $z$ 軸方向）は考慮せずに考えます。

簡単に描画したら，下の図のような $z$ 軸方向への向きのないベクトル場だけを考えるのです。

そうすると①式で $z$ のつく項がすべて0になります。

すなわち，　 $\dfrac{\partial V_z}{\partial y}=0$ ，　 $\dfrac{\partial V_y}{\partial z}=0$ ，　 $\dfrac{\partial V_x}{\partial z}=0$ ，　 $\dfrac{\partial V_z}{\partial x}=0$

その結果，①式は以下のようにスッキリとした形に書けるのです。

　　 $(渦度) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{\partial V_y}{\partial x} - \dfrac{\partial V_x}{\partial y} \end{pmatrix}$ 　　・・・②

この渦度のベクトルを図に表すと下の図のようになります。

これが何を意味しているのかというと，大気のように水平方向のみのベクトル場として近似した場合，回転を表す渦度は必ずその水平面とは垂直な鉛直方向に生じるということです（図では渦の中心にしか渦度を示す矢印を描いてないですが，実際にはどこの場所においても大きさは違えど鉛直方向に渦度が生じています）。

そしてこれは右ねじの法則として知られているものと同じです（下図）。右手を握って親指を立てた時に，渦度が生じる方向が親指の向き、そのほかの指の向きがベクトル場の向きになります。